【abc435】AtCoder Beginner Contest 435
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abc435
A - Triangular Number 三角数
题面翻译
时间限制：2 秒 / 内存限制：1024 MiB
分数：100 分
题目描述
给定一个正整数 $N$。
输出从 1 到 $N$ 的所有整数的和，即 $1+2+\dots+N$。
约束条件
- $1 \le N \le 100$
- $N$ 是整数
输入格式
输入从标准输入按以下格式给出：
N输出格式
输出从 1 到 $N$ 的所有整数的和。
样例输入 1
5样例输出 1
15样例解释 1
因为 $1+2+3+4+5=15$，所以输出 15。
样例输入 2
1样例输出 2
1样例输入 3
29样例输出 3
435思考
很简单，方法在题面中已经给出了，即 $\sum_{i=1}^{n} i$ ，这个算法的时间复杂度是 $O(n)$ 的。
也可以使用高斯求和的方法， $\frac{n(1+n)}{2}$。
我太懒了，使用高斯求和的方法。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,i,s;
int main(){
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++) s+=i;
cout<<s;
}B - No-Divisible Range 无因数区间
题目翻译
时间限制：2 秒 / 内存限制：1024 MiB
分数：200 分
题目描述
给定一个长度为 $N$ 的正整数序列 $A=(A_1,A_2,\dots,A_N)$。
请找出满足 $1 \le l \le r \le N$ 的整数对 $(l,r)$ 的数量，要求这些整数对满足如下条件：
对于所有满足 $l \le i \le r$ 的整数 $i$，$A_i$ 不是区间 $[l,r]$ 内所有元素的和的约数。
约束条件
- $1 \le N \le 50$
- $1 \le A_i \le 1000$
- 所有输入值均为整数
输入格式
输入数据通过标准输入给出，格式如下：
N
A_1 A_2 … A_N输出格式
输出满足条件的整数对 $(l,r)$ 的数量。
样例输入 1
5
8 6 10 5 7样例输出 1
6样例解释 1
序列 $A=(8,6,10,5,7)$。
例如，整数对 $(l,r)=(1,2)$ 满足条件：区间和为 $A_1+A_2=14$，$A_1=8$ 和 $A_2=6$ 都不是 14 的约数。
而整数对 $(l,r)=(1,3)$ 不满足条件：区间和为 $A_1+A_2+A_3=24$，$A_1=8$ 是 24 的约数。
满足条件的整数对为 $(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,5),(4,5)$，共 6 个，因此输出 6。
样例输入 2
3
1 1 1样例输出 2
0思考
就不打炮打蚊子了。
直接暴力枚举 $l$ 到 $r$，求和为 $S$ ，公式为 $S=\sum_{i=l}^{r} a_i$，然后判断从 $l$ 到 $r$ 如果能被 $S$ 整除，那这个就不是一个无因数区间，不应该计入到答案，否则就计入到答案，最后输出即可。
警告：暴力枚举 $l$ 到 $r$ 的时候，需要排除 $l > r$ 的状态，即 if(l>r) continue;。
时间复杂度为 $O(n^3)$，题目规定 $N \leq 50$，可以通过。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i,a[60],fl,s,t,w,ans;
int main(){
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(t=1;t<=n;t++) for(w=1;w<=n;w++){
if(t>w) continue;
fl=1;s=0;
for(i=t;i<=w;i++) s+=a[i];
for(i=t;i<=w;i++) if(s%a[i]==0) fl=0;
ans+=fl;
}
cout<<ans;
}C - Domino 多米诺
题面翻译
时间限制：2 秒 / 内存限制：1024 MiB
分数：300 分
题目描述
有 $N$ 张多米诺骨牌排成一行，放置在数轴上。第 $i$ 张骨牌位于坐标 $i$ 处，高度为 $A_i$。
当第 $i$ 张骨牌向右倒下时，坐标在 $i$ 到 $i+A_i-1$（包含两端）范围内的所有骨牌都会向右倒下。
当第一张骨牌向右倒下时，总共会有多少张骨牌倒下？
约束条件
- $1 \le N \le 5 \times 10^5$
- $1 \le A_i \le N$
- 所有输入值均为整数
输入格式
输入数据通过标准输入给出，格式如下：
N
A_1 A_2 … A_N输出格式
输出当第一张骨牌向右倒下时，倒下的骨牌总数。
样例输入 1
4
3 1 4 1样例输出 1
4样例解释 1
当第一张骨牌向右倒下时，第二张和第三张骨牌也会向右倒下。当第三张骨牌向右倒下时，第四张骨牌也会倒下。
样例输入 2
9
1 4 1 4 2 1 3 5 6样例输出 2
1样例解释 2
当第一张骨牌向右倒下时，没有其他骨牌会倒下。
样例输入 3
10
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5样例输出 3
5思考
数据范围 $N \le 5\times10^5$，暴力模拟每张骨牌的连锁倒下会超时，不能用 $O(N^2)$ 的暴力枚举了，必须用 $O(N)$ 贪心策略。
核心是维护当前最远覆盖位置和遍历边界：
- 第一张骨牌倒下的初始覆盖范围是 $1+A[1]-1$，记为
ma，用tmp记录当前需要遍历的右边界； - 从第 2 张骨牌开始，在
tmp范围内遍历，不断更新ma为所有骨牌能覆盖的最远位置； - 遍历到
tmp时，将tmp更新为新的ma，扩展遍历范围； - 最终答案取
ma和 $N$ 的较小值，避免覆盖范围超出骨牌总数。
小声：我看到时间限制为 2s 的时候以为不用贪心，就用暴力枚举，结果 TLE 了我操，∵数据范围是指数级的，是 $2.5 \times {10}^{11}$，但实际上计算机每秒大约只能做 $10^9$ 次，∴会超时。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500010;
int a[N],n,i,ma,tmp;
int main(){
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
if(n==0) return cout<<0,0;
ma=1+a[1]-1;
tmp=ma;
i=2;
while(i<=tmp&&i<=n){
if(i+a[i]-1>ma) ma=i+a[i]-1;
if(i==tmp) tmp=ma;
i++;
}
if(ma>n) cout<<n;
else cout<<ma;
}D - Reachability Query 2 可达性查询 2
题面翻译
时间限制：3 秒 / 内存限制：1024 MiB
分数：425 分
题目描述
给定一个有 $N$ 个顶点、$M$ 条边的有向图。顶点编号为 $1$ 到 $N$，第 $i$ 条边是从顶点 $X_i$ 指向顶点 $Y_i$ 的有向边。初始时，所有顶点均为白色。
按顺序处理 $Q$ 个查询，每个查询为以下两种类型之一：
1 v：将顶点 $v$ 染成黑色。2 v：判断从顶点 $v$ 出发，沿着边遍历是否能够到达某个黑色顶点。
约束条件
- $1 \le N \le 3 \times 10^5$
- $0 \le M \le 3 \times 10^5$
- $1 \le Q \le 3 \times 10^5$
- $1 \le X_i, Y_i \le N$
- 图中无自环（即 $X_i \neq Y_i$）。
- 图中无重边（即所有 $(X_i, Y_i)$ 互不相同）。
- 查询中，$1 \le v \le N$。
- 所有输入值均为整数。
输入格式
输入数据通过标准输入给出，格式如下：
N M
X_1 Y_1
⋮
X_M Y_M
Q
query_1
⋮
query_Q其中 query_i 表示第 $i$ 个查询，格式为以下两者之一：
1 v
2 v输出格式
设第二类查询的数量为 $q$，输出 $q$ 行结果：
- 对于第 $i$ 个第二类查询，若从顶点 $v$ 能到达黑色顶点，输出
Yes；否则输出No。
样例输入 1
5 6
1 2
2 3
3 1
4 5
1 4
2 5
5
1 3
2 1
2 4
1 5
2 4样例输出 1
Yes
No
Yes样例解释
初始时，给定的图如最左侧的图所示。
第一个查询将顶点 3 染成黑色（如中间的图所示）。
第二个查询中，从顶点 1 可以到达黑色顶点 3，故输出 Yes
第三个查询中，从顶点 4 无法到达任何黑色顶点，故输出 No。
第四个查询将顶点 5 染成黑色（如最右侧的图所示）。
第五个查询中，从顶点 4 可以到达黑色顶点 5，故输出 Yes。
思考
很明显，这是一道图论题，其实我个人做的图论题也不多，我首先感觉是 P3916 图的遍历 - 洛谷 的升级版，多了染色和一些杂七杂八的东西，抽象。小声：我刚看到每个查询的时候我还以为他考的是并查集。
一个经典的解决动态图可达性问题的方法是使用 bitset 或 分块，但 $N=3 \times 10^5$，bitset 太大（$N=3 \times 10^5 \space \text{bits}$ 约 $37.5 \space \text{KB}$ 每个顶点，总共 $N=3 \times 10^5$ 个顶点就是 $10^{10} \space \text{bits} \approx 1.25 \text{GB}$，太特么大了）。
我草比赛怎么结束了？
E - Cover query 覆盖查询
题面翻译
时间限制：2 秒 / 内存限制：1024 MiB
分数：450 分
题目描述
有 $N$ 个单元格从左到右排成一行。
从左数第 $i$ 个单元格（$1 \le i \le N$）被称为单元格 $i$。
初始时，所有单元格均为白色。
按顺序处理 $Q$ 个查询。
第 $i$ 个查询（$1 \le i \le Q$）的内容如下：
给定两个整数 $L_i$ 和 $R_i$（$1 \le L_i \le R_i \le N$）。
将单元格 $L_i, L_i+1, \dots, R_i$ 全部染成黑色。
在此操作中，原本白色的单元格会被染成黑色，原本黑色的单元格保持黑色不变。
操作完成后，求出 $N$ 个单元格中仍为白色的单元格数量。
约束条件
- $1 \le N \le 10^9$
- $1 \le Q \le 2 \times 10^5$
- $1 \le L_i \le R_i \le N$
- 所有输入值均为整数
输入格式
输入数据通过标准输入按以下格式给出：
N Q
L_1 R_1
L_2 R_2
⋮
L_Q R_Q输出格式
输出 $Q$ 行。
第 $i$ 行（$1 \le i \le Q$）输出第 $i$ 个查询的答案。
样例输入 1
10 5
3 5
8 9
5 8
2 9
6 6样例输出 1
7
5
3
2
2样例解释
初始时，10 个单元格从左到右排成一行。
第一个查询将单元格 3、4、5 染成黑色。操作后，白色单元格为 1、2、6、7、8、9、10，共 7 个。
第二个查询将单元格 8、9 染成黑色。操作后，白色单元格为 1、2、6、7、10，共 5 个。
第三个查询将单元格 5、6、7、8 染成黑色。操作后，白色单元格为 1、2、10，共 3 个。
第四个查询将单元格 2 到 9 染成黑色。操作后，白色单元格为 1、10，共 2 个。
第五个查询将单元格 6 染成黑色。操作后，白色单元格仍为 1、10，共 2 个。
因此，按顺序输出 7、5、3、2、2。
样例输入 2
1000000000 1
1 500000000样例输出 2
500000000思考
[待补]
F - Cat exercise 猫咪的锻炼
题面翻译
时间限制：2 秒 / 内存限制：1024 MiB
分数：550 分
题目描述
有 $N$ 座猫塔从左到右排成一行，从左数第 $i$ 座猫塔（$1 \le i \le N$）的高度为 $P_i$。
其中，序列 $(P_1,P_2,\dots,P_N)$ 是 $(1,2,\dots,N)$ 的一个排列。
从左数第 $i$ 座猫塔和第 $j$ 座猫塔之间的距离定义为 $|i-j|$。
初始时，有一只猫位于高度为 $N$ 的猫塔顶端。
高桥想要锻炼这只猫，方式是重复选择并移除猫塔。
当高桥移除一座猫塔时，猫的移动规则如下：
- 若猫不在被移除的猫塔顶端，则猫保持不动。
若猫在被移除的猫塔顶端，且该猫塔的左侧或右侧至少有一座猫塔存在，则猫会移动到以下目标猫塔：
- 目标猫塔的范围是：从被移除的猫塔出发，通过重复移动到相邻猫塔能够到达的所有猫塔（不包含被移除的猫塔）。
- 目标猫塔是上述范围内高度最高的猫塔。
- 此时，猫的移动距离计入总距离，该距离等于移动前所在猫塔和移动后所在猫塔之间的距离（与移动过程中经过的猫塔高度、数量无关）。
- 若猫在被移除的猫塔顶端，且该猫塔的左右两侧都没有猫塔存在，则猫会跳进高桥的怀里，锻炼就此结束。这种情况下，不计入任何移动距离。
注意：被移除的猫塔留下的空位不会被填补。也就是说，初始时从左数第 $i$ 座猫塔的相邻猫塔仅为第 $i-1$ 和第 $i+1$ 座猫塔（若存在），后续不会因为其他猫塔被移除而与非原本相邻的猫塔变成相邻关系。
请你求出，锻炼结束前猫能够移动的最大可能总距离。
约束条件
- $1 \le N \le 2 \times 10^5$
- $(P_1,P_2,\dots,P_N)$ 是 $(1,2,\dots,N)$ 的一个排列
- 所有输入值均为整数
输入格式
输入数据通过标准输入按以下格式给出：
N
P_1 P_2 … P_N输出格式
输出锻炼结束前猫能够移动的最大可能总距离。
样例输入 1
5
5 3 4 1 2样例输出 1
5样例解释 1
初始时，猫塔的高度从左到右依次为 5、3、4、1、2。
下文将从左数第 $i$ 座猫塔（$1 \le i \le 5$）简称为猫塔 $i$。
初始时，猫位于猫塔 1 的顶端（高度为 5）。
若高桥按照 1 → 2 → 3 → 5 → 4 的顺序移除猫塔，猫的移动过程如下：
- 移除猫塔 1：从猫塔 1 出发，通过重复移动到相邻猫塔可到达的猫塔为 2、3、4、5（不含猫塔 1）。其中高度最高的是猫塔 3（高度为 4），猫移动到该猫塔。
- 移除猫塔 2：猫不在该猫塔顶端，保持不动。
- 移除猫塔 3：从猫塔 3 出发，可到达的猫塔为 4、5（不含猫塔 3）。其中高度最高的是猫塔 5（高度为 2），猫移动到该猫塔。
- 移除猫塔 5：从猫塔 5 出发，可到达的猫塔仅有 4（不含猫塔 5），猫移动到该猫塔。
- 移除猫塔 4：猫的左右两侧都没有猫塔，跳进高桥怀里，锻炼结束。
此时，猫的总移动距离为 $|1-3| + |3-5| + |5-4| = 5$。不存在任何一种猫塔移除顺序，能让猫的总移动距离达到 6 或以上，因此输出 5。
样例输入 2
3
1 3 2样例输出 2
1样例解释 2
初始时，猫塔的高度从左到右依次为 1、3、2。
下文将从左数第 $i$ 座猫塔（$1 \le i \le 3$）简称为猫塔 $i$。
初始时，猫位于猫塔 2 的顶端（高度为 3）。
若高桥按照 2 → 3 的顺序移除猫塔，猫的移动过程如下：
- 移除猫塔 2：从猫塔 2 出发，可到达的猫塔为 1、3（不含猫塔 2）。其中高度最高的是猫塔 3（高度为 2），猫移动到该猫塔。
- 移除猫塔 3：猫的左右两侧都没有猫塔，跳进高桥怀里，锻炼结束。
此时，猫的总移动距离为 $|2-3|=1$，这是最大可能的总距离。
注意：移除猫塔 2 后，猫塔 1 和猫塔 3 不会被视为相邻。
思考
[待补]
G - Domino Arrangement 多米诺序列
题面翻译
时间限制：2 秒 / 内存限制：1024 MiB
分数：600 分
题目描述
有 $N$ 个单元格从左到右依次编号为 $1$ 到 $N$。初始时，所有单元格均未被涂上任何颜色。
共有 $M$ 种颜色，对于第 $i$ 种颜色，你可以选择单元格区间 $[L_i, R_i]$（即 $L_i, L_i+1, \dots, R_i$）内任意数量的单元格，将其涂为该颜色（可选择涂 0 个、1 个或多个）。
请计算满足以下条件的涂色方案数，并将结果对 $998244353$ 取模：
对于每一个单元格 $i$：
- 若该单元格被涂上了某一种颜色，则其左侧相邻单元格 $i-1$ 和右侧相邻单元格 $i+1$ 中，恰好有一个 单元格被涂成了与 $i$ 相同的颜色；
- 特别说明：单元格 $0$ 和 $N+1$ 被视为未被任何颜色涂色（即不存在的单元格）。
约束条件
- $1 \le N,M \le 5 \times 10^5$
- $1 \le L_i \le R_i \le N$
- 所有输入值均为整数
输入格式
输入数据从标准输入按以下格式给出：
N M
L_1 R_1
L_2 R_2
⋮
L_M R_M输出格式
输出满足条件的涂色方案数（对 $998244353$ 取模）。
样例输入 1
5 2
1 3
1 5样例输出 1
11样例解释 1
第 1 种颜色可涂色的单元格范围是 $1,2,3$，第 2 种颜色可涂色的单元格范围是 $1,2,3,4,5$。
满足条件的涂色方案共有 11 种。
样例输入 2
3 3
1 1
2 2
3 3样例输出 2
1样例解释 2
唯一满足条件的方案是：不涂任何单元格（若给任意单元格涂色，都无法满足“恰好一个相邻单元格同色”的条件）。
样例输入 3
500000 10
1 499999
2 499998
3 499997
4 499996
5 499995
6 499994
7 499993
8 499992
9 499991
10 499990样例输出 3
775503999补充说明
答案需对 $998244353$ 取模后输出。
思考
[待补]
