关于double和float精度丢失的问题

起因

这个问题，我记得我是在五年级的时候就有了，情况大概如下

现在，你需要将π放进一个变量中，需要保留到小数点后100位

过程

完成代码

第一次代码

当时，我想着，不是so easy嘛，然后编写出了如下代码

#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 int main(){
     float x=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679;
     cout<<x;
 }

然后，我怀着激动的心情，颤抖的手，内心OS：马上就可以AK了！哈哈哈哈！！！ ，但是，现实给我了种种一拳

*  正在执行任务: C:\SOFTWARE\Dev-Cpp\MinGW64\bin\g++.EXE -Wall -Wextra -g3 -std=c++23 e:\double.cpp -o e:\output\double.exe 
 PS E:\output> & .\'double.exe'
 3.14159

我：

？
What FUCK???

这感觉不太对啊，这输出怎么能这样子

哦！我忘了，还有double！

使用double完成

然后编写出了如下代码

#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 int main(){
     double x=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679;
     cout<<x;
 }

一键运行：

*  正在执行任务: C:\SOFTWARE\Dev-Cpp\MinGW64\bin\g++.EXE -Wall -Wextra -g3 -std=c++23 e:\double.cpp -o e:\output\double.exe 
 PS E:\output> & .\'double.exe'
 3.14159

？
没保存吗
Try again

*  正在执行任务: C:\SOFTWARE\Dev-Cpp\MinGW64\bin\g++.EXE -Wall -Wextra -g3 -std=c++23 e:\double.cpp -o e:\output\double.exe 
 PS E:\output> & .\'double.exe'
 3.14159

What FUCK?
怎么还是这样?

那时候我情绪崩溃了，不知道咋回事

然后，我突然想起来了保留小数点的方法！即setprecision

使用`setprecision`的方法完成

然后写出了如下代码

#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 int main(){
     double x=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679;
     cout<<setprecision(100)<<x;
 }

嘿嘿嘿，兄弟们，终于可以AK了！！！

*  正在执行任务: C:\SOFTWARE\Dev-Cpp\MinGW64\bin\g++.EXE -Wall -Wextra -g3 -std=c++23 e:\double.cpp -o e:\output\double.exe 
 PS E:\output> & .\'double.exe'
 3.141592653589793115997963468544185161590576171875

好像确实精确了亿点，但没有完全精确吧？

怀疑人生中。。。

哦！还有printf！！！

使用`printf`的方法完成

#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 int main(){
     double x=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679;
     printf("%.100lf",x);
 }

这下总不能错了，printf可是C语言的，怎么可能错？？

可是...

现实又给我了重重一锤

*  正在执行任务: C:\SOFTWARE\Dev-Cpp\MinGW64\bin\g++.EXE -Wall -Wextra -g3 -std=c++23 e:\double.cpp -o e:\output\double.exe 
PS E:\output> & .\'double.exe'
3.1415926535897931159979634685441851615905761718750000000000000000000000000000000000000000000000000000

我是不配学编程吗？？？

为什么显示总是这么打击我

呜呜呜呜呜呜呜呜

呜呜呜呜呜呜

现在的情况

2024年，Deepseek-R1模型发布

我草，牛逼！

2025年9月24日，一学校老师向我询问此问题，又够引了我的兴趣

IEEE 754 浮点数标准
计算机使用固定的位数来存储浮点数：
float（单精度）：32位，约6-7位有效数字
double（双精度）：64位，约15-16位有效数字
long double：通常80位或128位
double 的存储结构
double 使用64位存储：
1位符号位
11位指数位
52位尾数位
这意味着 double 只能精确表示大约15-16位十进制数字。
以上内容来自Deepseek-R1

EMM，似懂非懂，但是大概了解了

浮点数在计算机中以二进制分数形式存储，无法精确表示所有十进制小数。
以上内容来自Deepseek-R1

《二进制分数》

我嘞个二进制分数

依旧是补码，对吧？？？

二进制存储原理
double 的52位尾数只能表示有限精度的分数：
3.141592653588888... = 无法用有限二进制精确表示
计算机找到最接近的可表示二进制分数，这就是你看到的"奇怪"数字。
以上内容来自Deepseek-R1

我的评价：六百六十六

浮点数都是近似值
不要用 == 直接比较浮点数
需要高精度时使用特殊库或整数运算
以上内容来自Deepseek-R1

我的评价：近似值？？？

现在看来，我为什么不使用先乘再除呢？

#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 int main(){
     unsigned long long x=31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679;
     cout<<double(x/99);
 }

于是，我就发现了

*  正在执行任务: C:\SOFTWARE\Dev-Cpp\MinGW64\bin\g++.EXE -Wall -Wextra -g3 -std=c++23 e:\double.cpp -o e:\output\double.exe 
 
 e:\double.cpp:5:26: warning: integer constant is too large for its type
     5 |     unsigned long long x=31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679;
       |                          ^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 PS E:\output> & .\'double.exe'
 1.07941e+17

哦对对对对对对对，范围啊，我草

奇怪了，为什么我们不使用~~高精度~~数组呢？

使用数组

#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 int main(){
     string x="31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679";
     cout<<x;
 }

运行！

PS E:\output> & .\'double.exe'
 31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

耶！成功！

完

致谢

什么是浮点数？

浮点数就是用来表示小数（实数）的数据类型。让我用通俗易懂的方式解释：

什么是浮点数？

浮点数 = 科学计数法的二进制版本

就像我们写很大的数会用科学计数法：

1,200,000 = 1.2 × 10⁶
0.000012 = 1.2 × 10⁻⁵

计算机用类似的方法表示小数，但是使用二进制。

浮点数的组成

浮点数由三部分组成（以32位float为例）：

[符号位] [指数部分] [小数部分]
  1位      8位       23位

举例： 数字 -13.625 在计算机中如何表示？

符号位：负号 → 1
转换为二进制：
- 整数部分：13 = 1101（二进制）
- 小数部分：0.625 = 0.101（二进制）
- 合并：13.625 = 1101.101（二进制）
科学计数法：1101.101 = 1.101101 × 2³
- 小数部分：1.101101 → 去掉前面的1，得到 101101
- 指数部分：3

为什么叫"浮点数"？

"浮点"的意思是小数点的位置可以浮动：

// 这些数都是浮点数，小数点位置不同
float a = 123.45;     // 小数点在第3位后
float b = 1.2345;     // 小数点在第1位后  
float c = 12345.0;    // 小数点在第5位后

浮点数的实际问题

#include <stdio.h>

int main() {
    // 问题1：有些十进制小数无法精确表示为二进制小数
    float f = 0.1f;  // 0.1在十进制中很简单，但在二进制中是无限循环的！
    
    printf("0.1 的实际存储值: %.20f\n", f);
    
    // 问题2：连续相加会产生误差
    float sum = 0.0f;
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        sum += 0.1f;
    }
    printf("0.1相加10次: %.10f\n", sum);  // 可能不是精确的1.0
    
    return 0;
}

生活中的类比

想象一把尺子：

整数：只能量整厘米（1cm, 2cm, 3cm...）
浮点数：可以量毫米（1.1cm, 1.2cm, 1.25cm...），但精度有限

关键点：

浮点数不是绝对精确的（就像尺子有最小刻度）
表示范围很大，可以表示非常小或非常大的数
运算可能产生微小误差

编程中的浮点数类型

#include <stdio.h>
#include <float.h>

int main() {
    printf("float 精度: 约%d位有效数字\n", FLT_DIG);
    printf("double 精度: 约%d位有效数字\n", DBL_DIG);
    
    printf("float 范围: %e 到 %e\n", FLT_MIN, FLT_MAX);
    printf("double 范围: %e 到 %e\n", DBL_MIN, DBL_MAX);
    
    return 0;
}

简单总结： 浮点数就是计算机用来表示小数的近似方法，虽然不完美，但足够应对大多数科学计算和工程应用的需求。

经典疑问

float 和 double 的区别

特性	float	double
大小	4字节 (32位)	8字节 (64位)
精度	约6-7位有效数字	约15-16位有效数字
范围	±3.4e-38 到 ±3.4e+38	±1.7e-308 到 ±1.7e+308
关键字	`float`	`double`

printf 中的格式说明符

#include <stdio.h>

int main() {
    float f = 3.141592653589793f;    // 注意后面的 f
    double d = 3.141592653589793;
    
    // 正确的格式说明符
    printf("float: %f\n", f);        // 默认显示6位小数
    printf("double: %lf\n", d);      // %lf 用于 double
    
    // 控制小数位数
    printf("float(2位): %.2f\n", f);
    printf("double(4位): %.4lf\n", d);
    
    // 科学计数法表示
    printf("科学计数法: %e\n", f);
    printf("科学计数法: %le\n", d);
    
    return 0;
}

浮点数的玄学问题

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    // 问题1：精度损失
    float a = 0.1f;
    float b = 0.2f;
    float c = a + b;
    printf("0.1 + 0.2 = %.10f\n", c);  // 可能不是精确的 0.3
    
    // 问题2：比较浮点数不要直接用 ==
    if (fabs(c - 0.3f) < 1e-6) {      // 使用误差范围比较
        printf("c ≈ 0.3\n");
    }
    
    // 问题3：大数吃小数
    float big = 1e8f;
    float small = 1.0f;
    printf("大数 + 小数 = %f\n", big + small);  // 可能还是 100000000
    
    return 0;
}

四舍五入的正确用法

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double numbers[] = {3.4, 3.5, 3.6, -2.3, -2.7};
    int size = sizeof(numbers) / sizeof(numbers[0]);
    
    printf("四舍五入示例:\n");
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        printf("%.1f -> %.0f\n", numbers[i], round(numbers[i]));
    }
    
    // 其他相关的舍入函数
    double x = 2.7;
    printf("\n其他舍入函数:\n");
    printf("round(%.1f) = %.0f  (四舍五入)\n", x, round(x));
    printf("ceil(%.1f) = %.0f   (向上取整)\n", x, ceil(x));
    printf("floor(%.1f) = %.0f  (向下取整)\n", x, floor(x));
    printf("trunc(%.1f) = %.0f  (向零取整)\n", x, trunc(x));
    
    return 0;
}

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